不签劳动合同申请仲裁的方式是提交仲裁申请书，向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。按照法律规定，用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者签订的书面的劳动合同，逾期签订的，从第二个月起应当向劳动者支付双倍的工资报酬。可以要求单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额。
1.单位严重违法，《劳动合同法》规定，建立劳动关系一个月内应该签订劳动合同
2.因为单位的违法行为，可以随时辞职，并要求单位支付经济补偿金、双倍工资(最多11个月)等，支付加班工资，补缴社会保险等
3.属于劳动纠纷，应该尽快去提出劳动仲裁，不需要承担任何责任，可以提出书面离职后随时离职。
在以下情况下可以劳动仲裁:
1.因用人单位开除、除名、辞退劳动者及劳动者辞职、自动离职发生的争议；
2.因执行国家有关工资、奖金、保险、福利、培训、劳动保护的规定发生的争议；
3.因履行劳动合同发生的争议，包括因执行、变更、解除、终止劳动合同发生的争议；
4.劳动者与用人单位之间没有订立书面劳动合同，但已形成事实劳动关系后发生的争议；
5.法律法规规定的其他劳动争议。
劳动仲裁不会留档案。劳动仲裁属于民事纠纷，个人档案不会进行收录，只有在违反刑法，构成犯罪需要承担刑事时，个人档案才会对刑事犯罪记录进行收录。
找法网提醒您，《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百八十六条犯罪的时候不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。犯罪记录被封存的，不得向任何单位和个人提供，但司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询的除外。依法进行查询的单位，应当对被封存的犯罪记录的情况予以保密。
