根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在以下情况下开除员工不需要支付补偿或赔偿：
1.当员工在试用期间被证明不符合录用条件时，公司有权解除劳动合同而无需支付补偿。
2.如果员工严重违反公司的规章制度，或严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害，公司同样可以解除劳动合同而不需支付补偿。
3.员工若同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或在用人单位提出后拒不改正，公司也有权解除劳动合同并不支付补偿。
4.当员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效时，公司可以解除劳动合同而不需支付补偿。
5.当员工被依法追究刑事责任时，公司同样有权解除劳动合同而不需支付补偿。
根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，合法辞退员工的六种情形包括：
1.员工在试用期间被证明不符合录用条件；
2.员工严重违反公司的规章制度；
3.员工严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4.员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或在用人单位提出后拒不改正；
5.员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效；
6.员工被依法追究刑事责任。
单位赔偿金的计算方法主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。
1.根据该法第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
若劳动者在用人单位工作的年限为六个月以上不满一年的，按一年计算；若不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
2.根据该法第四十八条，当用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同时，若劳动者不要求继续履行劳动合同或劳动合同已经不能继续履行，用人单位应支付赔偿金。
（1）赔偿金的计算方式为经济补偿金的二倍。
（2）这意味着，在违法解除或终止劳动合同的情况下，单位需要支付的经济补偿金的两倍作为赔偿金。
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