当乘客将包忘在出租车上并被出租车司机要求支付额外费用时，乘客应当首先保持冷静，并采取以下措施处理：
1.乘客应立即与出租车司机进行沟通，若司机承认捡到并要求支付额外费用，乘客应坚决拒绝这种不合理的要求，并尝试与司机协商一个合理的解决方案。
2.如果协商无果，乘客可以立即拨打当地出租车管理部门的投诉电话，报告这一情况，并请求管理部门介入处理。乘客也可以考虑报警，由警方协助找回遗失物品，并对出租车司机的行为进行调查和处理。
3.为了预防类似情况再次发生，乘客在乘坐出租车时，应养成索要发票的习惯，并妥善保管好发票。
找法网提醒，在乘客与出租车司机因遗失物品发生纠纷，且乘客担心司机可能转移、隐匿或毁损遗失物品时，乘客有权向人民法院申请财产保全。
1.根据《民事诉讼法》的规定，利害关系人因情况紧急，不立即申请财产保全将会使其合法权益受到难以弥补的损害的，可以在起诉前向人民法院申请采取财产保全措施。
2.在此情境下，乘客作为利害关系人，若认为出租车司机可能转移、隐匿或毁损遗失物品，导致其合法权益受到难以弥补的损害，可以向人民法院申请财产保全。
3.申请财产保全时，乘客需要提供相关证据材料，证明其与出租车司机之间存在遗失物品纠纷，以及出租车司机可能转移、隐匿或毁损遗失物品的情况。
