两者没有先后之分，行政责任和刑事责任的法律性质是不一样的，两者的区别包括：
1.法律后果不同。
刑事处罚是各种处罚中最为严厉的强制方法。这种处罚，不仅可以剥夺被强制者的财产，而且可以剥夺其政治权利、人身自由，甚至剥夺生命。而行政处罚不涉及政治权利和人身自由。
2.适用的对象不同。
刑事处罚只能对犯罪分子适用。而行政处罚只能对违反民事法规、行政法规、经济法规等，没有达到触犯法律构成犯罪的行为适用。
3.适用的程序不同。
刑事处罚必须依照《刑事诉讼法》。而行政处罚则行政程序做出，比较灵活。
4.作出处罚的机关不同。
刑事处罚只能由人民法院依法适用，任何机关、团体、或个人都无权对公民适用处罚。而行政处罚可有执法权的行政机关作出。罚款和罚金虽然只有一字之差，可法律性质是截然不同的，在刑事案件当中，刑事法院不可能对当事人作出罚款判决的，而罚金作为附加刑，根据具体的犯罪行为，主刑和附加刑可以同时适用，或者也可以单独的判处罚金。
找法网提醒您，刑事责任不再追究的情形有：
1.情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的；
2.犯罪已过追诉时效期限的；
3.经特赦令免除刑罚的；
4.依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉的；
5.犯罪嫌疑人、被告人死亡的；
6.其他法律规定免予追究刑事责任的。
罪责是犯罪构成的主观要件，在这一要件中，影响罪责轻重包括以下要素：
1.责任能力
责任能力是承担刑事责任的基础，是一种责任要素。责任能力中涉及刑事责任年龄、精神障碍等内容，如果不具备责任能力就不构成犯罪。
2.责任形式
责任形式是承担刑事责任的根据，主要包括故意与过失两种主观心理状态。在我国刑法中，以处罚故意为原则、处罚过失为例外。因此，故意是重责任形式，过失是轻责任形式。我国刑法总则明确规定：故意犯罪，应当负刑事责任。过失犯罪，法律有规定的才负刑事责任。
3.主观的附随情状
罪责要素还包括动机与目的等主观的附随情状。虽然对于大部分犯罪来说，动机与目的并非犯罪成立的构成要素，但在少数犯罪中却是必不可少的构成要素。
