交通事故对方不肯负责任起诉流程如下：
1.原告向人民法院递交起诉状、副本及相关的证据；
2.人民法院接受原告提交的文件、材料，进行审查，符合条件的予以立案；
3.法院将原告的起诉书副本送达被告；
4.被告作出书面答辩；
5.开庭审理；
6.法院做出判决。
《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十三条起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。
书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。
如果适用的是普通程序一般会在六个月内判决，因为法律规定人民法院适用普通程序审理的案件，应当在立案之日起六个月内审结，如果适用的是简易程序，则会在三个月内判决。
找法网提醒您，根据《民事诉讼法》第一百五十二条人民法院适用普通程序审理的案件，应当在立案之日起六个月内审结。有特殊情况需要延长的，经本院院长批准，可以延长六个月；还需要延长的，报请上级人民法院批准。
第一百六十四条人民法院适用简易程序审理案件，应当在立案之日起三个月内审结。有特殊情况需要延长的，经本院院长批准，可以延长一个月。
交通事故起诉后，开庭时间由人民法院根据案件情况进行确定。目前法律对开庭时间未作明确的规定，一般由人民法院自行决定，只要能够在审限内进行结案，人民法院可以自行决定开庭时间，并且告知诉讼参与人。
二审上诉后，会在三个月内开庭。二审的开庭审理的时间是不确定的，要由法院根据工作安排来确定具体的开庭时间并提前通知当事人。如果是对于一审判决不服而上诉的民事案件，法院有一个审限规定，即应当在第二审立案之日起三个月内审结；如果因为有特殊情况需要延长时间的，由该院院长进行批准，法院将会在审结期限内通告开庭并结案。
