这要看投毒者的投毒目的、投毒方式，投毒结果。
如果仅仅是要毒死这只狗，并且不让死狗被人吃了再次中毒，同时这只狗的价值不足1000元，那么就不构成犯罪；如果狗的是特种狗，如警犬、辑毒犬、救援犬等价值超过2000元以上，就构成破坏公私财物罪；
如果投毒的方式上，虽然是针对狗的，但是可能危及公共安全的，如狗肉被人吃了中毒死亡，毒品流向水井、河流、食物，可能造成不确定的多人中毒死亡，则构成投毒罪。
根据《刑法》规定，放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑。放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
《中华人民共和国刑法》第一百一十五条
【放火罪】【决水罪】【爆炸罪】【投放危险物质罪】【以危险方法危害公共安全罪】放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
【失火罪】【过失决水罪】【过失爆炸罪】【过失投放危险物质罪】【过失以危险方法危害公共安全罪】过失犯前款罪的，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑或者拘役。
1、侵犯的客体是公共安全。
2、客观方面表现为行为人实施了投放毒物危害公共安全的行为。这里的“投毒”是指向公共饮用、食用的水源、食品或者牲畜、禽类的饮水池、饮料等投放能够严重危害人体健康、生命安全或者造成重大财产损失的毒物的行为。不论投毒行为的具体方式怎样，也不论使用何种毒物，只要投毒行为已经威胁到不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全，就可以构成本罪。
3、本罪的主体是一般主体。根据刑法典第17条的规定，已满14周岁不满16周岁的人犯投毒罪的，应当负刑事责任。
4、主观方面表现为故意。既可以出于直接故意，也可以出于间接故意。
1、投放危险物质罪所侵犯的直接客体是国家对投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质的禁止性管理秩序及社会 公众的人身安全及公私财产安全。本罪行为人务必实施了投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质危害公共安全、尚未造成严重后果的行为；抑或投放了毒害性、放射性、传染病病原体等物质致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的行为。投毒案件的直接后果是致受害人受伤或死亡，直接影响家庭。
2、根据本条规定，犯投本罪的，尚未造成危害后果的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，依照本法第115条规定，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
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