在公司欠税的情况下，监事作为公司治理结构中的重要组成部分，同样承担着一系列的责任和义务，具体如下：
1.监事应依据《公司法》的相关规定，对公司财务进行检查，确保公司财务的透明度和合规性。当发现公司存在欠税行为时，监事应及时向公司董事会和股东会报告，并提出相应的纠正措施。
2.监事还有责任对董事、高级管理人员执行公司职务的行为进行监督，防止因公司内部管理不善导致的欠税问题。
3.如果发现董事、高级管理人员有损害公司利益的行为，监事有权要求其予以纠正，并可以提出罢免的建议。
4.监事在履行职责时，应列席董事会会议，对董事会决议事项提出质询或建议，确保公司决策的合法性和合理性。
5.在公司经营情况异常时，监事有权进行调查，并可以聘请专业机构协助其工作，以确保公司财务的准确性和完整性。
找法网提醒，监事承担赔偿责任应当具备以下条件：
1.必须有公司受到损害的事实存在，这包括因监事的不当行为导致的公司财产损失、声誉损害等。
2.损害行为必须是监事违反法律、行政法规或者公司章程执行公司职务的行为，如未履行监督职责、未能及时发现并纠正公司内部违法行为等。
3.违法行为与损害事实之间必须有因果关系，即监事的违法行为是导致公司损害的直接原因。
4.行为人必须有过错，即监事在履行职责时存在过失或故意。
只有同时满足以上条件，监事才需要承担赔偿责任。
监事对公司履行义务的方式主要体现在以下几个方面：
1.监事应依据《中华人民共和国公司法》的规定，行使监事会的职权，对公司财务、董事、高级管理人员执行公司职务的行为等进行监督。
2.监事应积极参与公司的决策过程，列席董事会会议，对董事会决议事项提出质询或建议。
3.监事还应关注公司的经营情况，发现异常时及时进行调查，并向董事会和股东会报告。在履行职责过程中产生的费用，应由公司承担。
4.监事应履行忠实义务和勤勉义务，确保公司利益的最大化。
综上所述，监事在公司治理结构中扮演着重要角色，应认真履行职责和义务，确保公司的合规经营和健康发展。
