养子不赡养养父母的情况下，依然具有继承权。只有当继承人存在下列行为，才会导致继承权的丧失，如：
1.故意杀害被继承人；
2.为争夺遗产而杀害其他继承人；
3.遗弃或虐待被继承人情节严重等。
根据《民法典》第一千一百二十五条的规定，继承人有前款第三项至第五项行为，确有悔改表现，被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。
因此，养子不赡养养父母并不意味着他自动失去了继承权。
子女不赡养老人时，他们仍然有权继承财产。但是，对于那些有赡养能力和条件却不履行赡养义务的继承人，在分配遗产时，应当不分或者少分。
这是根据《民法典》第一千一百三十条所规定的，旨在确保那些真正对被继承人付出关心和照顾的人能够得到相应的回报。
同时，赡养人不得以放弃继承权、被赡养人婚姻关系变化或其它理由，拒绝履行赡养义务。
继母是有权继承父亲遗产的。在法定继承中，继母作为父亲的配偶，属于第一顺序继承人，可以继承父亲的遗产。
根据《民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：
1.第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
2.当没有第一顺序继承人继承时，才由第二顺序继承人继承。
因此，在父亲去世后，继母作为配偶，是有权继承父亲遗产的。
以上对于养子不赡养是否还有继承权、子女不赡养老人是否可以继承财产以及继母是否有权继承父亲遗产等问题进行了详细的解答。
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