交通事故逃逸应该承担以下责任：
1.民事责任
如果驾驶人逃逸，则将承担事故的全部赔偿责任，如果对方也有过错的，可以减轻责任。如肇事机动车参加有强制保险的，由保险公司在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿，不足的部分，在没有投保商业险的情况下，由肇事逃逸人赔偿。
2.行政责任
发生交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，处200以上2000元以下罚款，可以并处15日以下拘留;
发生交通事故后逃逸且构成犯罪的，由公安机关交警部门吊销其机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证。
3.刑事责任
一般的交通肇事罪，处3年以下有期徒刑或拘役。但如果交通肇事后有逃逸行为，则又分为两种情况：交通肇事后逃逸会被判处三年至七年有期推行；因逃逸致人死亡被判处七年以上有期徒刑。
肇事逃逸赔偿对方应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
找法网提醒您，《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
肇事逃逸索赔的诉讼时效是3年。
《民法典》第一百八十八条向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。
诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。
