背书断续不连续行使追索权的方式是依据我国相关法律的规定，票据背书要连续才有效的，如果付款人因票据背书不连续而拒付款的，持票人可以行使追索权。
《中华人民共和国票据法》第三十一条以背书转让的汇票，背书应当连续。持票人以背书的连续，证明其汇票权利;非经背书转让，而以其他合法方式取得汇票的，依法举证，证明其汇票权利。前款所称背书连续，是指在票据转让中，转让汇票的背书人与受让汇票的被背书人在汇票上的签章依次前后衔接。
第五十七条付款人及其代理付款人付款时，应当审查汇票背书的连续，并审查提示付款人的合法身份证明或者有效证件。付款人及其代理付款人以恶意或者有重大过失付款的，应当自行承担责任。
追索权行使的条件：
1.汇票到期被拒绝付款;
2.汇票在到期日前被拒绝承兑;
3.在汇票到期日前，承兑人或付款人死亡、逃匿的;
4.在汇票到期日前，承兑人或付款人被依法宣告破产或因违法被责令终止业务活动。在发生上述情形之一的，持票人可以行使追索权。
找法网提醒您，追索权的分类有：
期前追索权：是指在汇票上所载的到期日到来之前，因发生到期付款的可能性显著减少的情况，而得进行追索的权利。
期后追索权：是指在票据到期时，持票人因不获付款而得进行追索的权利。
再追索权：是指被追索人在履行了自己的追索义务，向追索人偿还追索金额后，得向其前手追索义务人进行追索的权利。
