商标侵权主张赔偿的方式：权利人可以提供相关的证据，请求侵权人按照其因被侵权所受到的实际损失进行赔偿。实际损失无法计算的，参照侵权人的违法所得进行赔偿，若违法所得无法计算的，参照该商标许可使用费的倍数合理赔偿。
法律依据：《中华人民共和国商标法》第六十三条，侵犯商标专用权的赔偿数额，按照权利人因被侵权所受到的实际损失确定；实际损失难以确定的，可以按照侵权人因侵权所获得的利益确定；权利人的损失或者侵权人获得的利益难以确定的，参照该商标许可使用费的倍数合理确定。对恶意侵犯商标专用权，情节严重的，可以在按照上述方法确定数额的一倍以上五倍以下确定赔偿数额。赔偿数额应当包括权利人为制止侵权行为所支付的合理开支。
人民法院为确定赔偿数额，在权利人已经尽力举证，而与侵权行为相关的账簿、资料主要由侵权人掌握的情况下，可以责令侵权人提供与侵权行为相关的账簿、资料；侵权人不提供或者提供虚假的账簿、资料的，人民法院可以参考权利人的主张和提供的证据判定赔偿数额。
找法网提醒，因侵犯注册商标专用权行为以及侵犯驰名商标特殊保护权利提起的民事诉讼，由侵权行为的实施地、侵权商品的储藏地，或者查封扣押地、被告住所地人民法院管辖。
在侵权商品储藏地或者扣押地，当事人可以起诉实施储存、保管、运输等行为的行为人，也可以起诉该部分商品的经销商、制造商，或者同时起诉各行为人。
对涉及不同侵权行为实施地的多个被告提起的共同诉讼，原告可以选择其中一个被告的侵权行为实施地人民法院管辖;仅对其中某一被告提起的诉讼，该被告侵权行为实施地的人民法院有管辖权。
侵犯商标权的诉讼时效一般有三年。侵犯商标权的诉讼时效适用《民法典》关于诉讼时效的规定。即向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年，诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
法律依据：
《中华人民共和国民法典》第一百八十八条
向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。
