非婚子女的抚养权应该归谁可以由双方当事人进行协商，协议达成一致，按照协议的约定；协商不成的，可以向人民法院起诉请求人民法院判决，人民法院会根据最有利于未成年子女的原则和双方的具体情况判决。
根据《民法典》第一千零七十一条规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。
不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。
第一千零八十四条第三款规定，离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。
非婚生子女的抚养费多少要根据情况确定：有固定收入的，抚育费一般可按其月总收入的百分之二十至三十的比例给付。负担两个以上子女抚育费的，比例可适当提高，但一般不得超过月总收入的百分之五十。找法网提醒您，无固定收入的，抚育费的数额可依据当年总收入或同行业平均收入，参照上述比例确定。
非婚生子女抚养权起诉流程：
1.带齐当事人的身份证件、起诉状以及副本到有管辖权的人民法院立案庭立案；
2.人民法院审查通过的，予以立案；
3.收到开庭通知书后，按期参加庭审；
4.在法庭进行审理后，由法院依法进行判决。
《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十条
起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。
