遗嘱指定监护人的条件有以下两个：
1.立遗嘱人是被监护人的父母。
2.立遗嘱人担任被监护人的监护人。
找法网提醒，遗嘱指定监护实际上是法律允许父母通过遗嘱对未成年子女、患有精神病的子女的监护问题作出安排，但对指定监护的内容、如何操作、遗嘱指定监护人是否排除其他监护人的监护权以及相关配套等内容均未涉及，比如父、母各自遗嘱指定的监护人不是同一个人，或者父母一方死亡，遗嘱指定他人作为监护人，与在世一方的监护权在行使过程出现冲突等情况如何处理，需要司法解释进一步明确。
遗嘱可以指定监护人的范围根据被监护人的情况有所不同：
1.未成年的监护人须遵循如下顺序：
（1）祖父母、外祖父母；
（2）兄、姐；
（3）其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。
2.无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人的监护人须遵循如下顺序：
（1）配偶；
（2）父母、子女；
（3）其他近亲属；
（4）其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。
遗嘱监护当事人是可以拒绝的，相关情况是需要由双方协商达成一致意见后进行处理的。对监护人的确定有争议的，由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门指定监护人，有关当事人对指定不服的，可以向人民法院申请指定监护人；有关当事人也可以直接向人民法院申请指定监护人。居民委员会、村民委员会、民政部门或者人民法院应当尊重被监护人的真实意愿，按照最有利于被监护人的原则在依法具有监护资格的人中指定监护人。
