肇事司机不垫付医药费的应当及时抢救并由保险公司来垫付。《中华人民共和国道路交通安全法》第七十五条规定，医疗机构对交通事故中的受伤人员应当及时抢救，不得因抢救费用未及时支付而拖延救治。肇事车辆参加机动车第三者责任强制保险的，由保险公司在责任限额范围内支付抢救费用；抢救费用超过责任限额的，未参加机动车第三者责任强制保险或者肇事后逃逸的，由道路交通事故社会救助基金先行垫付部分或者全部抢救费用，道路交通事故社会救助基金管理机构有权向交通事故责任人追偿。
肇事司机不垫付医药费可以起诉，只需要提交相应的起诉状并缴纳相应的诉讼费用即可，找法网提醒您，交通事故提起诉讼需要注意如下问题：
1.明确要“告谁”
如果被告人不合理或者不存在，不仅会影响判决结果，还有可能导致无法立案。
2.拿到证据
公安机关交通管理部门是认定道路交通事故的法定机关，道路交通事故责任认定书在诉讼中，对于证明双方当事人各自应负的责任程度仍具有重要的意义。
3.合理要赔偿
交通事故纠纷案件中，涉及的赔偿问题一般包括财产损害赔偿和人身伤害赔偿。
交通事故的医药费一般能全部报销。交通事故的医药费可以直接起诉肇事者和保险公司要求赔偿全部费用，也可以使用医保可以报销，只要是医保范围内的用药。扎法网提醒您，保险公司有赔偿限额，保险公司赔偿的限额需要双方协商，由车主陪同到保险公司核算赔偿数额。交强险的医疗费用赔偿限额为八千元，其他商业保险的赔偿限额需要看具体的商业保险合同。对于医药费，通过车险、医疗保险等保险的赔偿，一般情况是可以全部报销的。
