可以。有犯罪记录的人，在被招聘时应当主动报告之前的犯罪记录，否则，单位有权根据法律规定和规章制度予以辞退，解除劳动合同。未成年人犯罪，且被判刑期少于五年，免除报告义务。
根据《刑法》第一百条 前科报告制度
依法受过刑事处罚的人，在入伍、就业的时候，应当如实向有关单位报告自己曾受过刑事处罚，不得隐瞒。 犯罪的时候不满十八周岁被判处五年有期徒刑以下刑罚的人，免除前款规定的报告义务。
免除刑事处罚会不会被开除公职要依据具体的情况而定，当事人需要被免除刑事处罚，但有其他严重违纪行为的，也有可能被开除公职。
《行政机关公务员处分条例》第十七条 违法违纪的行政机关公务员在行政机关对其作出处分决定前，已经依法被判处刑罚、罢免、免职或者已经辞去领导职务，依法应当给予处分的，由行政机关根据其违法违纪事实，给予处分。
行政机关公务员依法被判处刑罚的，给予开除处分。第二十八条 严重违反公务员职业道德，工作作风懈怠、工作态度恶劣，造成不良影响的，给予警告、记过或者记大过处分。
免于刑事处罚会留案底，只要是已经构成了刑事犯罪的，都会留有案底。免于刑事处罚只是说被告人没有刑事处罚但并不代表被告人同样也免去了刑事责任，刑事责任包括赔偿受害人经济损失、赔礼道歉、予以行政处罚或行政处分等。
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