商家赠送的产品是假冒伪劣产品的，可以依据《产品质量法》的规定对商家进行处罚，如果构成犯罪的，可以追究刑事责任。
《中华人民共和国产品质量法》第四十九条 生产、销售不符合保障人体健康和人身、财产安全的国家标准、行业标准的产品的，责令停止生产、销售，没收违法生产、销售的产品，并处违法生产、销售产品(包括已售出和未售出的产品，下同)货值金额等值以上三倍以下的罚款；有违法所得的，并处没收违法所得；情节严重的，吊销营业执照；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
第五十条 在产品中掺杂、掺假，以假充真，以次充好，或者以不合格产品冒充合格产品的，责令停止生产、销售，没收违法生产、销售的产品，并处违法生产、销售产品货值金额百分之五十以上三倍以下的罚款；有违法所得的，并处没收违法所得；情节严重的，吊销营业执照；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
确定赠品属于假货的，作为消费者可以主张赔偿，具体的理由如下：
1、店家给的赠品不属于无偿赠与
买赠活动中，赠品与销售的商品形成捆绑式销售，此赠与是附义务的赠与，即消费者必须购买价值较大的商品才能获得价值较小的赠品；消费者获得的赠品仍然是通过有价交换取得的，只是赠品的付款义务已经转移到消费者所购买的商品中，商家由此在买赠活动中获取利润。附义务的赠与，赠与的财产有瑕疵的，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。因此，商家仍应对赠品的瑕疵承担责任。
2、对附义务的赠与可以主张赔偿
零售商开展促销活动，不得降低促销商品(包括有奖销售的奖品、赠品)的质量和售后服务水平，不得将质量不合格的物品作为奖品、赠品。因此，赠品虽然表面上是消费者无偿获得的，但本质上仍然是商品，仍受《产品质量法》、《消费者权益保护法》等相关规定的约束。
3、店家需承担的赔偿金额
所以，当发现店家给的赠品是假货时，可以按规定增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为赠品的价款或者接受服务的费用的三倍。增加赔偿的金额不足五百元的，即为五百元。不过，对于具体赔偿的数额，建议可以找商家进行协商解决。
《中华人民共和国产品质量法》第四十九条 生产、销售不符合保障人体健康和人身、财产安全的国家标准、行业标准的产品的，责令停止生产、销售，没收违法生产、销售的产品，并处违法生产、销售产品(包括已售出和未售出的产品，下同)货值金额等值以上三倍以下的罚款；有违法所得的，并处没收违法所得；情节严重的，吊销营业执照;构成犯罪的，依法追究刑事责任。
第五十条 在产品中掺杂、掺假，以假充真，以次充好，或者以不合格产品冒充合格产品的，责令停止生产、销售，没收违法生产、销售的产品，并处违法生产、销售产品货值金额百分之五十以上三倍以下的罚款；有违法所得的，并处没收违法所得；情节严重的，吊销营业执照；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
《中华人民共和国民法典》第六百六十二条 赠与的财产有瑕疵的，赠与人不承担责任。附义务的赠与，赠与的财产有瑕疵的，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。赠与人故意不告知瑕疵或者保证无瑕疵，造成受赠人损失的，应当承担赔偿责任。
依据我国产品质量法的规定，经营者向消费者出售的商品，都应该提供三包服务，所以赠品同样要提供三包服务。
《中华人民共和国产品质量法》第四十条 售出的产品有下列情形之一的，销售者应当负责修理、更换、退货；给购买产品的消费者造成损失的，销售者应当赔偿损失：
(一)不具备产品应当具备的使用性能而事先未作说明的；
(二)不符合在产品或者其包装上注明采用的产品标准的；
(三)不符合以产品说明、实物样品等方式表明的质量状况的。
销售者依照前款规定负责修理、更换、退货、赔偿损失后，属于生产者的责任或者属于向销售者提供产品的其他销售者(以下简称供货者)的责任的，销售者有权向生产者、供货者追偿。
销售者未按照第一款规定给予修理、更换、退货或者赔偿损失的，由产品质量监督部门或者工商行政管理部门责令改正。
生产者之间，销售者之间，生产者与销售者之间订立的买卖合同、承揽合同有不同约定的，合同当事人按照合同约定执行。
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