应该承担保证责任。其理由是，保证的设定目的就是为了维护债权人的权益，保护交易的安全。《担保法》第十八条第二款规定：“连带责任保证的债务人在主合同规定的债务履行期届满没有履行任务的，债权人可以要求债务人履行债务，也可以要求担保人在保证范围内承担保证责任。”而这里所说的没有履行，当然应该包括债务人的死亡所导致的没有履行。而且，根据《继承法》的有关规定，债务人死亡并不导致债的灭失。债务人的承人应该在其继承的范围内清偿债务。所以，担保人在承担了保证责任后，可根据追偿权，向债务人的继承人主张权利。
根据《中华人民共和国继承法》规定：继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。
对此，《最高人民法院关于适用＜中华人民共和国婚姻法＞若干问题的解释（二）》第二十六条作了明确的规定，笔者不复赘言。
二、死亡债务人的继承人诚信、理想状态下，当遗产含有外债时，应用夫妻共同财产对全部债务清偿后再析产，从而确定遗产净值后继承。在这里，应注意的是当债务为共同债务时不能先析产然后偿还债务。实践中较上述状态要复杂得多。
第一、由于当事人对债务的规避，已经继承了而称没有继承；
第二、夫妻一方仍生存的，子女不主张继承权，现实生活中这种情况也不少见。而是否析产、继承又是纯粹意义上的私权行为，债权人不能提起继承之诉，法院也不能强制进行继承。
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