打人逃跑后的法律责任，关键还是要看打人所造成的后果，经鉴定达到轻伤以上的，构成故意伤害罪，依法是三年以下有期徒刑、拘役或者管制的量刑。达不到刑事立案标准的，会按治安案件处理。
根据《刑法》第二百三十四条规定的故意伤害罪，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。
一般殴打行为只是给他人造成暂时性的肉体疼痛，或使他人神经受到轻微刺激，但没有破坏他人人体组织的完整性和人体器官的正常机能，故不构成犯罪。值得注意的是，有些殴打行为表面上给他人身体造成了一定的损害，但显著轻微，即按《人体轻伤鉴定标准》不构成轻伤的，不能以故意伤害罪论处。因此，在区分故意伤害与一般殴打时，既要考虑行为是否给人体组织及器官机能造成了损害，又要考察损害的程度。
涉嫌故意伤害犯罪，可以判处三年以上十年以下有期徒刑。具体量刑看情节。受害人可以主张刑事附带民事赔偿。《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十九条被害人由于被告人的犯罪行为而遭受物质损失的，在刑事诉讼过程中，有权提起附带民事诉讼。被害人死亡或者丧失行为能力的，被害人的法定代理人、近亲属有权提起附带民事诉讼。如果是国家财产、集体财产遭受损失的，人民检察院在提起公诉的时候，可以提起附带民事诉讼。
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