根据法律规定，与员工签订劳动合同是用人单位的责任，如果员工不签订，用人单位应书面通知，员工仍不签订的，用人单位应书面通知解除劳动关系。

依据劳动合同法第十条、第八十二条第一款规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日满一个月的次日起开始计算二倍工资，截止点为双方订立书面劳动合同的前一日，最长不超过十一个月。

因此，如果该名员工迟迟不与公司签订劳动合同，公司应书面通知其签订，其仍不签订的，应通知其解除劳动关系。

如果员工一再拖延，且公司除了管理人员的口头告知外，没有任何行动，那么一旦超过了一个月的宽限期，公司将面临支付双倍工资的问题。